2024.9.15 日上午 9:00-11:30 考. 没有原卷. 基本都是陈题, 比较简单, 有两道题感觉还不错, 在此记录一下. 出了一道高考题, 有点抽象.

1: (填空题某道) 计算

Sol. 这可以推广, 对于整数 , 计算 我们直接解决这个一般的问题. 写出来几项可以发现整个式子和调和级数前 项和联系紧密, 于是 因此

也可以考虑 , , 答案显而易见. 当然更具体地, 调和级数的渐进展开为 , 用该式得出的结果更为严谨.

2: (解答题最后一道) 设 , , 证明存在 使得 .

Proof. 注意到 的存在, 以及考虑到正弦与余弦在求导时的周期性, 以及 , 要证明的式子可以写成: 令 , , 则要证明的式子是 . 令 , 考察 在 上的零点情况, 考虑三个特殊点 , 设 , 于是 , , , . 于是 以及 . 现在考察 的符号:

• 当 时结论成立.
• 当 时, 考虑反证法, 不妨设 在 上恒成立, 令 , 则 , 于是 在 上单调递增, 故 , 即 , 于是 , 即 , 这与 矛盾! 对于 的假设, 可以采用相同的证法.

综上, 存在 使得 . Q.E.D.