准备 qz 的笔试, 顺手也再准备下 CMC. 基本上都是以前做过的题, 重新整理一下. 大部分只简述思路, 需要体现计算能力的都写在纸上了.

UPDATE: QZ 寄. 没啥心思看了.

微积分

1: 若 , 试证 2: 计算

其中 为单位球面 , 设积分沿 外侧.

3: 设函数 在 上具有连续的二阶导数, 且 . 证明: 若 , 则存在 使得 .

Proof. 做过几遍的题了.

4: 设函数 的三阶导数 在 上连续, 且 在 上 恒大于零. 求证: 若 , 则 .

5: 定义数列 如下:

证明：级数 收敛的充分必要条件是参数 .

6: (达布定理) 设 , 证明存在介于 和 的 , 使得存在 满足 .

7: 求 ; .

Proof. 第一个可以对 进行 Fourier 展开, 代入 即可.

8: Frullani 积分. 设 , 收敛, , 求 Proof. 突破点在 , 但要求的积分的下限是从 开始的, 无法直接拆开, 则使用极限: 中间拆开换元的部分就略去了, 还需要用一次积分中值定理.

9: Toeplitz 定理. 设二维数列 , , , , 令 , 证明 .

Proof.

10: 设二维数列 满足 判断 是否成立, 证明或给出反例.

11: 设 在 上满足 收敛, 在 上递减且 , 证明 .

12: 若对任意 的 都有 都收敛, 证明 绝对收敛.

13: 设 满足 且在任意有限区间上均可积, 且 证明对任意 都有 .

Proof. 感觉有点概率背景. 随机变量 满足 , , 证明对任意 都有 .

线代

1: 设 反实对称, 正实对角, 证明 .

Proof. 反证法, 分别证明 和 都不可能成立.

• , 则考察方程 存在非零解, 设为 , 则 , 且 , , 则 , 与 正实对角矛盾.
• , 由于都是实矩阵, 则 必然存在负实特征值 (实矩阵的复特征值共轭地出现, 它们乘积必然为正), 设为 , 则 , 矛盾.

2: 设 , 证明 .

Proof. 都实对称. 与 合同. , 则转化为证 , 可对角化, 则转化为一般形式的伯努利不等式 . 证毕.

3: 证 当且仅当 .

4: 为 阶方阵, 满足 , , . 判断 能否相似对角化并证明.

Proof. , 设 , , 考察 之间的关系, 显然可以往初等变换上想. 对 操作, 第 列加到第 列上, 并把对角元都变成 0 , 即可得到 满足 . 于是 . 现在考察 是否可逆, 考察 的解的情况, 分别乘 , 再得到 个方程, 时 , 得 , 往上逐个解 , 得 , 于是 线性无关, 可逆, 与 相似, 而 , 是 重特征值, 且 , 几何重数不等于代数重数, 则不可对角化, 则 不能相似对角化.

对角阵右乘相当于分别在列上倍乘, 左乘相当于在行上倍乘.

5: 证明 可同时对角化当且仅当 .

Proof. 可同时对角化, 则存在 使得 , 则 显然成立.

时,

两套 THU 微积分期末题

2021

16:

17: 可导, , . 证明 存在且 .

Proof. 时, , 故 . 注意到 于是 18: 附加题:

2023

Tricks and Conclusions