周六上午打完蓝桥杯去龙湖黄记煌吃了顿饭, 吃饭的时候拿出电脑看赛题. 接下来做了两天, 做出来选择题, 第三题第一问和第六题, 估摸着有 40+, 希望进决赛.

周六下午主要把第六题做出来了, 周日上午中午一直在想第四题特征值, 只会初等变换, 最后也没求出来, 证明了行列式为 0 就交了, 说不定有 1 分.

第三题第一问受 hxd 启发基本写出来了, 希望没有细节问题.

很寄的一点就是交了之后才发现第六题忽略了 的时候 这一项, 导致的出来了 的结果, 怪不得给的 , 草率了, 不知道能给多少分.

下面是写的乱七八糟的想法和答案, 也不想整理了.

阿里巴巴全球数学竞赛预选赛

选择题

问题 1

如果 因为 的遮挡而没有被同学 看到, 由于要求所有建筑物不存在三点共线的情形, 那么 没有被同学 看到一定不是因为 的遮挡, 那么不妨设是 的遮挡.

现在假如有同学 , 同学 2 因 的遮挡看不到 和 同学 因 的遮挡看不到 , 不可能同时成立, 因为要想同时成立需要同学 2 站在射线 和射线 的交点处, 但是这个位置已经被同学 1 占了. 那么不妨设同学 2 看不到 是因为 的遮挡, 同学 2 在射线 和 射线 的交点处.

现在再假设有同学 3, 此时可以发现射线 上还没有同学, 因此将同学 3 安排到 上, 而射线 和射线 的交点可以在点 和点 的延长线上, 所以同学 3 可以安排在射线射线 和射线 的交点处.

现在再假设有同学 4, 按照前面的方法, 可以加上 , 将同学 4 安排在射线 和射线 的交点处.

此时已经不能再安排新的同学了, 因为 与 的 中组合. 笑晕

分析一大串子, 全是错的, 所以是 与 的 种组合.

问题 2

小问 1

设时刻 的积分为 , . 设第 架飞机出现的时刻为 , 表示小明是否击落第 架飞机.

小明在时刻 的积分满足

第 架敌机出现时小明得分的期望为 ,

第 架飞机和第 架飞机出现的时间间隔服从指数分布, 出现的间隔的期望是 1, 从某一架飞机出现开始, 到下一架飞机出现的积分减少的期望为 1, 如果下一次打落飞机得分的期望小于 1, 就应该在上一架飞机击落后结束游戏, ,

解答题

问题 3

1. 证明: 首先考察 的形状. 由于 是整方阵, 则 , 同时 是一系列平行四边形的顶点的集合, 满足:

• 这些平行四边形是对 的密铺
• 每个平行四边形的顶点都是整点
• 每个平行四边形都由 中唯一的一个单位正方形施加线性变换 而得到, 更具体地, 对于单位正方形 , 它与平行四边形 一一对应.
• 每个平行四边形的面积都是

那么对于任意 , 它一定在 的某个平行四边形内部, 设该平行四边形距离 最近的那个顶点为 , 设两条对角线长度为 , 夹角为 , 那么 , 则 .

首先证明 , 设平行四边形 , 对角线交点为 , 且不妨设点 在三角形 内部, 那么 至少有两个为钝角, 这就意味着 . 于是 由于平行四边形的四个点都是整点, 因此 , 现在证明 有与 无关的下界:

设 , 的特征值为 , 且 有两个相异特征值, 则 可以相似对角化, 则 不妨设 , 其中 都有与 无关的上下界 (这是因为它们含有 ). 实际上是 的夹角, 其中 有与 无关的上下界, 那么 由于 有与 无关的上下界, 同时两个不共线向量通过线性变换后仍然不共线, 因此 `且 有与 无关的上下界, 因此 有与 无关的上下界, 设 , 那么 这就说明了集合 是 -稠密的.

问题 4

1. 证明: 设 的矩阵表示为 , 是形如这样的三对角矩阵:

• 主对角元为 0
• 平行于主对角元且相邻上方的元为 , 一共是 个.
• 平行于主对角元且相邻下方的元为 一共是 个. 则 , 注意到 .

首先 , 这可通过下述初等变换得到:

• 将第 行的 倍加到第 行, 再将第 行的 倍加到第 行, 重复这样做, 直到第 行
• 再将第 列的 倍加到第 列, 再将第 列的 倍加到第 列, 重复这样操作, 直到第 列

经过这样的初等变换后, 所有 都变成了 0, 这样主对角元和下三角部分都为 0, 因此 , 这意味着 存在一个特征值为 0.

问题 5

默认为凸多面体.

证明的大概思路: 首先证明任意的中心对称多面体 都存在一个外接椭球 (即 的每个点都在外接椭球上), 这意味着任意椭球的任意内接中心对称多面体与任意的中心对称多面体是等价的; (这是错的, 当大于某一个值时, 肯定有冗余的, )

然后对任意椭球, 注意到它的内接中心对称多面体的面数越多, 多面体的表面积就越接近椭球的表面积, 因此证明在内接中心对称多面体的表面积关于面数是递增的; 最后考察椭球表面积和椭球内接中心对称四面体的表面积之间的关系即可.

对于某个中心对称凸多面体 , 设它的对称中心为原点, 它的顶点数一定是偶数, 设为 , 其中 个点的坐标为 , 另外 个点是这些点的关于原点中心对称的点.

问题6

(1)

.

为偶数, 则取值为 .

设 表示第 次掷硬币是否抛到正面, , , 那么 . 然后 . 计算 然后

1. 首先 , 然后注意到 那么

(2)

记 , 则随机向量 服从多项分布, 记 , , 则 现在 其中 , 且对任意 都有 , 且题目是 , 上述 视作偶数, 因此

受 combinatorics - Evaluating even binomial coefficients - Mathematics Stack Exchange 启发.