基本概念
- 设
是两个群, 若 满足
, 则称 为 到 的同态. 为单射或满射时称为单同态或满同态, 为双射时称两群同构, 记作 或
.
- 表示 的自同构全体, 与合成运算构成群,
幺元为恒等映射.
子群
为群, 且 为群, 则称 为 的子群, 记作 . 记 , .
在 上定义关系 ,
这是一个等价关系, 显然与元素
等价的所有元素的集合为 , 这称为
的右陪集, 据此有对 的右陪集分解: 这是一个划分, 记 , 叫做 对于 的指数.
可以类似定义左陪集分解, 这两种分解在 中有相同的指数.
定理1 (Lagrange 定理) 是有限群, , 则 .
满足 的最小正整数
称为 的阶, 有限群的元素的阶是有限的, 事实上,
有限群 的每个元素的阶都是 的因子, 这是因为 构成 的一个子群, 由 Lagrange
定理可直接导出这一结论.
定理2 最小的非 Abel 群的阶为 .
逐一验证 阶群均为 Abel
群.
设 , 若存在 使得 , 则称 共轭. 对于 的子集而言, 共轭是等价关系, 特别地,
对于 的子群, 共轭也是等价关系,
每个等价类叫做共轭类, 称为
的共轭元素.
对于 的子集 , 定义 的正规化子为子群 , 的中心化子为子群 . 与
共轭的子集的个数为 ,
与元素 共轭的元素的个数为 .
定理3 设
为素数, 阶群是 Abel 群.
循环群
是群 的子集, 包含 的 的最小子群 称为由 生成的子群, 记作 , 由群的定义有 若 称
为 的一个生成元系, 中的元素称为 的生成元, 是有限集时称 为有限生成群; 若 则称 为循环群.
定理4 无限循环群同构于 , 阶循环群同构于 .
循环群的子群都是循环群, 对于
的每一个正因子 , 恰好有一个 阶子群 为循环群, 这是
Lagrange 定理在循环群情况下的逆.
同构于
中乘法可逆元构成的乘法群 , 且阶为 .
正规子群, 商群和同态定理
群 的子群 称为 的正规子群, 如果 都有 , 表示为 , 且 对 的每个右陪集均为左陪集.
正规子群提出的动机是, 对于
的右陪集分解 ,
想赋予集合 以群的结构, 也就是需要定义一个二元运算, 直觉是 , 通过推演发现这要求 是 的自共轭子群, 也就是所谓的正规子群.
定义 称为 对正规子群 的商群, 且 .
定理5 (同态基本定理) 设 是群同态, 则
置换群
置换的定义是集合
到自身上的每一个双射, 令 , 设 是 上全体置换组成的集合, 则 是 阶群称为对称群,
的每一个子群均为置换群. 对不同的 , 显然 ,
那么可以定义 元集合上的对称群
.
一个置换可以写成若干轮换的乘积, 这里轮换指的是, 置换
将
变成 ,
这叫做长为 的轮换. 长为 的置换略去不写. 长为 的轮换叫做对换,
每个轮换可以表示成一些对换之积, 因此每个置换也可以表示成一些对换之积,
若一个置换写成对换之积后对换的个数为偶数则成为偶置换,
反之称为奇置换. 令 为二元乘法群, 映射 是群同态, 且由于 时 知其为满同态, 且
是全体偶置换的集合,
记作 , 称为 元集合上的交错群, 显然 , 且 .
,
的一个生成元系是全体长为
的轮换.
定义置换 的型为
,
表示长为 的轮换一共有 个, 则
中的两个置换共轭的充要条件是它们有相同的型. 比如 的所有共轭元素类为 .
称 为单群, 如果 且其正规子群只有 . 当 时, 是单群, 从而 是
的唯一非平凡正规子群.
群在集合上的作用
研究群的一个基本手段是同态基本定理,
另一个手段就是研究群在集合上的作用.
Sylow 定理
Burnside 引理和 Polya
计数定理
