T2为2019年的真题.

1：设 在 上任意阶可导, 且 同时存在非负实数 使得 求证:

PROOF 一眼Taylor.

时显然成立.

时, 在 处展开 有 在 之间, 于是取绝对值利用题干条件的不等式有 要使 不难想到夹逼, 于是我们要保证 时 这是很容易做到的, 只需要令 即 在 上成立. 现在我们可以取 在 处进行上述过程, 并重复进行下去, 的区间便可以覆盖整个坐标轴, 便能证得我们要证的结论.

2: 设 且存在常数 使得 在 上恒成立, 证明在 上有

PROOF1 取 在 上由Lagrange中值定理有 即 其中 于是 令 于是 其中 于是 有界, 因此 时, 有 即 在 上成立. 现在我们可以在区间 上采用相同的证法, 证得 在 上成立.

函数一阶可导时常用Lagrange中值定理和Rolle定理.

PROOF2

在求出 后也可采用下面的做法.

设 在 上的最大值为 对应的取值为 即 于是 在 上的最大值为 即 在区间 上采用相同的证法可以证得最终结论.

T1, T2的相似之处是限制不等式上界中的其中一个变量的范围(T1是令 T2是令 或 ), 让我们可以用极限求出精确的上界.

这提供了一种证明 的方法: 构造出 或 且 收敛于

3: 证明: 在 上至多有一个连续解.

PROOF 看到至多, 至少, 唯一 等字眼的时候, 经常要用反证法. 不妨该方程有两个解, 我们只需要证明这两个解相等即可. 设这两个解的差为 便转化为证明 于是有

证明某个函数 常用的手段之一就是利用 的关系式进行迭代, 往往能得到 且

上面这个问题的一元函数的版本是: 连续函数 满足 证明在 上有

PROOF 显然 在 上有界, 设 的最大值为 于是对任意 有 不论 取何值总有 这就表明了

对于本题而言, 我们只需要像下面这样: 即可得到 这就证得了结论.

好多还是不会, 还是先看教程复习复习基础吧😭