1: 计算积分

SOL1 不难发现该积分(记作 ) 可以写成曲面积分的形式: 其中 为单位球面.

于是

好菜, 自己做的时候写到这一步就不会了, 还在想着用极坐标.

考虑将积分区域绕原点逆时针旋转 将指数部分变为单项式(更好处理), 此时积分区域和分母不发生变化, 即令 得到 于是积分变为

REMARK: 总结就是, 不要用球坐标和极坐标. 原式本来就是曲面积分利用球坐标化简出来的, 所以就老老实实在 上做就好了. 不过结果可以写成双曲正弦的形式, 应该也可以用双曲代换.

复习一下重积分的换元.

对于二重积分 若做换元 则 即 可近似看作直线, 于是面积微元从 张成的平行四边形变成了 张成的平行四边形, 它们的面积比为线性变换对应矩阵的行列式, 即Jacobi行列式: 即

或者更本质些, 均为向量, 是一种特殊的叉乘即楔积(wedge product): 于是 于是 不过为什么在积分的时候可以认为 呢?

一个比较清晰的理解Jacobi行列式的回答: 雅可比行列式该如何理解? - 知乎 (zhihu.com)

直角坐标与极坐标的互化中，为什么 dxdy=rdrdθ？ - 知乎 (zhihu.com)

本题来源: 2019年 第11届 全国大学生数学竞赛 初赛(非数学类)试题详细解答

有时间把Jacobi矩阵和Jacobi行列式总结一下.

SOL2

看到 这种东西怎么会想不到辅助角公式换元呢(

这个式子还是能联想到极坐标, 作换元 就有 更明显了, 化成二重积分后用直角坐标计算即可, 剩下的和 SOL1 一样.

REMARK: 1) 看到 上的三角函数的积分会很自然地将其化到 上, 即 对称性易得.

2. 对于周期为 的周期函数 而言, 它在任意一个周期上的积分都是一样的, 即

2: 设 1) 证明 收敛, 并求其极限.

PROOF 由于 故 因此 递减, 且 故 单调递减有下界, 收敛. 取任意 有 对于第二项, 由积分中值定理得

不能直接用积分中值定理是因为若 收敛至 那么上式就变为了 的不定式.

对于第一项, 当 充分大时, 有 于是 这就证得了

2. 证明级数 条件收敛.

PROOF 为正项数列且递减且极限为 于是由Leibniz判别法知其收敛.

3)证明级数 在 时收敛, 并求 的值.

PROOF 由于 于是 后者为 级数在 时收敛. 下面证明 时的情况.

利用分部积分可以求出递推公式: 得到 于是 是一个老生常谈的积分了, 令 这是方程 的四个根, 于是 代入即得

计算能力有待加强.