参考书目：菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷

这一部分主要是含有根式的不定积分的处理方法。

Case1: 形如 的积分

这里函数 是一个多元有理函数. 对于这种表达式一般是作变量替换 这样原积分就转化为了有理函数的积分。

例1

SOL 于是 求解代入即可。

Case2: 形如 的积分

其中

Case2.1: 当 时, 若设 其中 并设 原式可化为 作换元 即可将其转化为有理函数, 因为它是形如 的表达式.

Case2.2: 对于一般的情况, 作换元 于是 这时再设 原表达式变为 的形式, 这就转化为了Case1, 作换元 即可, 与前面的换元合并可令 当然, 这里要满足

Case2.3 在Case2.2中, 若 这样得到的表达式是 同样可以换元 这里仍然要求

综合上述三种情况, 三者有一者为整数原函数即可积(可按优有限形状表示出来), 否则不可, 这是Chebeshev得到的事实.

例2

SOL 发现 而 这是Case2.3, 于是置 于是 剩下的部分就是有理函数的积分。

例3

SOL 这是Case2.2, 于是置 有 因此 转化为有理函数的积分.

Case3: Euler替换

Euler替换有三种情形, 用来解决形如被积函数形如 的积分, 它做到了在换元后能将 和 同时用另一个元有理地表示出来.

1: 当 时, 设 两边平方有

2: 当 时, 设 两边平方并整理得 3: 若 有两相异的实根 则设 两边平方并整理得 例4

例5

例6

诸如此类的还有 等等.

特别地, 若碰到 可以利用恒等变换: 这样可以利用前面的例子中的结论.